Partial Derivative Là Gì

  -  
29 OCT 2017 • 7 mins read

Nói về đạo hàm, nhỏng chúng ta học sinh hoạt lớp 11, 12 thì đạo hàm biểu hiện tốc độ thay đổi của hàm. Ví dụ hàm (y=f(x)) tất cả đạo hàm là (fracdydx) để bộc lộ tỉ lệ thành phần biến hóa của hàm (y) lúc phát triển thành nguồn vào (input) (x) đổi khác một lượng vô cùng nhỏ tuổi (dx). Đối với thiết bị thị trên mặt phẳng tọa độ, đạo hàm tại một điểm trên vật thị bởi độ dốc của đường biểu diễn thứ thị kia. Chính vì vậy bắt đầu gồm vẻ ngoài search tiếp con đường của đồ vật thị trên một điểm bằng phương pháp tính đạo hàm. Nếu chúng ta từng làm cho con gà chọi thi đại học, mấy mẫu mình thổ lộ ở chỗ này chắc rằng thừa không còn xa lạ cùng với các bạn rồi.

Bạn đang xem: Partial derivative là gì

Đạo hàm điều đó là đạo hàm thông thường (ordinary derivative).

Đạo hàm riêng (partial derivative) cũng chuyển động trên vẻ ngoài giống như.


*
Đồ thị hàm (z = f(x, y) = x^3y^2).

Đạo hàm riêng rẽ theo trở thành (y), ký hiệu là (f_y) hoặc (fracpartial zpartial y) sẽ tiến hành tính giống hệt như đạo hàm thông thường trường hợp ta xem tất cả những trở thành khác (y) là hằng số. Với đạo hàm thường xuyên ta dùng chữ (d), đạo hàm riêng ta sử dụng chữ (partial) (hiểu là “del” hoặc “partial”).

Lúc coi (x) là hằng số, mình đang sử dụng một phương diện phẳng, ví dụ điển hình (x=1), nhằm giảm thiết bị thị (z=x^3y^2).


*
Đồ thị hàm (z = f(x, y) = x^3y^2).

còn lại giao tuyến là con đường (1^3y^2=y^2)

Lợi ích của vấn đề dùng đạo hàm riêng biệt là mình rất có thể quan liêu cạnh bên được sự dịch chuyển của hàm khi chỉ đổi khác một biến chuyển với giữ nguyên những thông số kỹ thuật input còn sót lại. Để tất cả không thiếu thốn công bố về vận tốc chuyển đổi đó, bọn họ cần biết những biến chuyển được giữ nguyên là đổi mới nào với có giá trị không thay đổi bởi mấy, kế tiếp núm các quý hiếm này vào.

Theo ví dụ bên trên thì:

Đạo hàm riêng theo biến chuyển (y) của đại lượng (z) Khi (x=1) là (2y). Tại điểm (x=1, y=2) cùng bề mặt phẳng (z=f(x,y)), đạo hàm riêng rẽ theo đổi thay (y) bởi (2y = 2 imes 2 = 4). Tức là trên điểm này, nếu như bạn giữ nguyên (x) và dịch rời (y) một lượng khôn cùng nhỏ bởi (partial y) thì đại lượng (z) cũng trở thành thay đổi một lượng, cơ mà cấp 4 lần (partial y) cơ mà các bạn chuyển đổi cùng với (y). Chính bởi vậy ta viết (fracpartial zpartial y = 4).

Gradient của hàm (f( extbfv)) cùng với ( extbfv = (v_1, v_2, ..., v_n)) là một trong những vector:

< abla f = left<eginarrayc fracpartial fpartial v_1\ fracpartial fpartial v_2\ dots\ fracpartial fpartial v_n endarray ight>>

Mình lừng chừng dịch “directional derivative” ra tiếng Việt ra sao yêu cầu dịch thô thiển điều đó thôi. Đạo hàm được đặt theo hướng có nhiều chân thành và ý nghĩa cùng tính năng không giống nhau, trong bài bác này chỉ nói tới Việc biểu đạt tốc độ thay đổi của hàm.

Xem thêm: Anh Và Colombia - Clip Diễn Biến Chính Trận Anh

Đạo hàm được đặt theo hướng là 1 trong những dạng tổng quát của đạo hàm riêng. Nếu đạo hàm riêng rẽ chỉ hoàn toàn có thể xét cho sự thay đổi của một trở thành thì đạo hàm được bố trí theo hướng xét sự thay đổi của không ít biến.

Mình vẫn team các biến chuyển vào trong 1 vector, Tức là nạm do ghi (z=f(x,y)) thì ghi (z=f( extbfv)) với ngầm phát âm ( extbfv=left<eginarraycx\ yendarray ight>).

Do bản thân gồm 2 vươn lên là (x, y) bắt buộc không gian input của bản thân mình vẫn là mặt phẳng. Không gian output của hàm (f) là một tia số. Hàm (f) làm cho nhiệm vụ “nối” một điểm trong không gian input đầu vào cho một điểm trong không khí output, chúng ta cứ đọng trợ thì tưởng tượng giống như ánh xạ vậy nhé.

Giả sử mình gồm một vector ( extbfw), thắc mắc đưa ra là nếu điểm trong không gian đầu vào của mình bị đẩy lệch đi một không nhiều theo chiều của vector ( extbfw), thì điểm trong không gian output của chính bản thân mình có khả năng sẽ bị lệch đi từng nào lần?

Quan sát hình sau. Hai điểm cùng color là 1 cỗ input-output khớp ứng nhau đến hàm (f). lấy một ví dụ làm việc phía trái, điểm màu đỏ ((1,2)) có tác dụng input thì vẫn mang đến điểm red color ngơi nghỉ ảnh nên có giá trị (f(x,y)=x^3y^2=4). Bây giờ đồng hồ ví như trong hình trái, bản thân dời điểm màu đỏ sang trọng địa chỉ điểm màu xanh theo hướng (chỉ hướng thôi nhé, còn khoảng cách được quyết định vày (h ightarrow 0)) của ( extbfw=(1,3)), thì sinh hoạt hình bên đề nghị độ dời đó sẽ cấp từng nào lần đối với mặt trái?


*

*

Từ kia nảy sinh ra ký hiệu (fracpartial fpartial extbfw), hoặc ( abla_ extbfwf( extbfv)) và đạo hàm có hướng. Nếu chúng ta thay được phương pháp tính đạo hàm thông thường, chắc hẳn rằng phương pháp tính sau đang không tồn tại gì xứng đáng ngạc nhiên:

Một số tài liệu sẽ quan niệm không giống một tí, chỉ xét mang đến chiều của vector với dùng để làm tính tốc độ chuyển đổi của hàm:

< abla_ extbfwf( extbfv = abla_ extbfw f( extbfv) = frac abla fcdot extbfwleft>

Note:À, ừm… kia bởi vì nhằm đảm bảo mình luôn luôn xét sự dịch rời theo vector đơn vị (vector gồm độ dài bằng 1). Nếu chúng ta chưa biết đến thì hãy tưởng tượng nhé. Trong ví dụ trên, cho dù ta rước ( extbfw=(1,3)) xuất xắc ( extbfw=(2,6)) bọn họ đầy đủ mong muốn ( abla_ extbfwf( extbfv)) ra một giá trị nhất, đúng không? Vì phương châm lúc này của đạo hàm hướng là trình bày sự thay đổi của hàm Lúc đổi khác input theo một chiều khăng khăng.

Một số fan còn xét mang lại độ mập của ( extbfw) với cho rằng giả dụ nó càng bự thì vận tốc tăng cũng yêu cầu to theo. Mình sẽ có test đặt câu hỏi này trên Reddit với bên trên Quora. Hóa ra là nó tạo nên sự dễ dàng cho những đặc thù khác :)) (“because it’s mathematically convenient!”). Nếu tất cả thời gian bản thân đang phân tích sâu thêm mảng này. Tạm thời hiện thời, nếu đối kháng thuần tính vận tốc hàm thì bản thân đề nghị cần sử dụng vector đơn vị chức năng, cùng với nguyên nhân đang nhắc nghỉ ngơi trên.

Theo ví dụ bên trên thì:

<eginaligned abla_ extbfw f( extbfv) &= frac1sqrt10left( 1fracpartial fpartial x + 3fracpartial fpartial y ight)\ &= frac1sqrt10left( 3x^2y^2 + 6x^3y ight)endaligned>

Tại các điểm đầu vào rõ ràng, bạn có thể vắt vào và tính ra được đạo hàm phía trên đặc điểm đó, còn gọi là tính độ dốc (slope).

Tốc độ chuyển đổi của hàm (f):

< abla_ extbfw f( extbfv) = abla fcdot extbfw>
*

Contour map


Tại một điểm đầu vào thắt chặt và cố định, hàm (f) tăng nkhô nóng độc nhất vô nhị (max) Khi (w) thuộc hướng cùng với ( abla f) (tính chất tích vô hướng).

Do đó, tín đồ ta Điện thoại tư vấn gradient là chiều tăng nhanh hao độc nhất vô nhị của hàm (direction of steepest ascent).

Xem thêm: Giáo Trình Kế Toán Ngân Sách Xã Phường : Phần 2, 503 Service Not Available

Các contour lines ở tiếp giáp nhau vẫn gần như là song song cùng biện pháp nkhô nóng nhất di chuyển thân hai đường song song là qua đường vuông góc phổ biến. Cách đi này trùng với phía gradient, hệ quả là, gradient luôn vuông góc cùng với các đường contour lines.